Η μέθοδος των ολοκληρωτικών εξισώσεων σε προβλήματα ροής εκτός θερμοδυναμικής ισορροπίας

Abstract

Η μέθοδος των ολοκληρωτικών εξισώσεων αποτελεί ένα αξιόπιστο υπολογιστικό σχήμα για την επίλυση κινητικών εξισώσεων που περιγράφουν μονοδιάστατα προβλήματα ροής και φαινομένων μεταφοράς εκτός θερμοδυναμικής ισορροπίας, δηλαδή σε προβλήματα όπου ο αριθμός Knudsen είναι μεγαλύτερος του μηδενός. Η επέκταση της μεθόδου σε πολυδιάστατα προβλήματα δεν είναι τετριμμένη και προφανής και αποτελεί το αντικείμενο της παρούσας εργασίας. Συγκεκριμένα, διατυπώνεται με σαφή και συστηματικό τρόπο η μαθηματική μεθοδολογία επέκτασης της μεθόδου των ολοκληρωτικών εξισώσεων σε πολυδιάστατα προβλήματα. Αυτό επιτυγχάνεται με την επίλυση των κλασσικών προβλημάτων της πλήρους ανεπτυγμένης ροής σε αγωγό και της ροής σε κοιλότητα για όλο το εύρος του αριθμού Knudsen. Τα αριθμητικά αποτελέσματα συγκρίνονται λεπτομερώς με τα αντίστοιχα της μεθόδου των διακριτών ταχυτήτων, όσον αφορά την ακρίβεια, την ταχύτητα σύγκλισης και τον απαιτούμενο υπολογιστικό χρόνο. Εξάγονται χρήσιμα συμπεράσματα σχετικά με τα υπολογιστικά πλεονεκτήματα και μειονεκτήματα της μεθόδου των ολοκληρωτικών εξισώσεων. Στην μέθοδο των ολοκληρωτικών εξισώσεων διατυπώνεται μια έκφραση κλειστής μορφής για την συνάρτηση κατανομής, ολοκληρώνοντας την κινητική εξίσωση κατά μήκος των χαρακτηριστικών. Στην συνέχεια, η έκφραση της συνάρτησης κατανομής αντικαθίστανται στην αντίστοιχη ροπή που εκφράζει το μακροσκοπικό μέγεθος. Έτσι, προκύπτουν μια ή περισσότερες ολοκληρωτικές εξισώσεις κλειστής μορφής, οι οποίες εκφράζουν τις αντίστοιχες άγνωστες μακροσκοπικές ποσότητες του προβλήματος. Οι ολοκληρωτικές εξισώσεις δεν περιέχουν την άγνωστη συνάρτηση κατανομής και για τον λόγο αυτό απαραίτητη είναι μονό η διακριτοποίηση του προβλήματος στον φυσικό χώρο και όχι στο χώρο των μοριακών ταχυτήτων. Είναι προφανές, ότι η μέθοδος των ολοκληρωτικών εξισώσεων προσεγγίζει την επίλυση οποιουδήποτε προβλήματος με διαφορετικό τρόπο απ’ ότι η μέθοδος των διακριτών ταχυτήτων. Στην μέθοδο των διακριτών ταχυτήτων επιλύεται ένα σύστημα εξισώσεων, οι οποίες περιέχουν την άγνωστη συνάρτηση κατανομής και για τον λόγο αυτό είναι απαραίτητη η διακριτοποίηση τους στον φασικό χώρο (φυσικό χώρο και χώρο μοριακών ταχυτήτων). Η διακριτοποίηση της μεθόδου των ολοκληρωτικών εξισώσεων πραγματοποιείται με ποικίλες τεχνικές. Αποδεικνύεται ότι όταν η διακριτοποίηση γίνεται στο γεωμετρικό μέσο (και όχι στις κορυφές) των κελιών του χωρικού πλέγματος, υποθέτοντας παράλληλα ότι οι άγνωστες μακροσκοπικές ποσότητες σε κάθε κελί παραμένουν σταθερές, τότε η μαθηματική - υπολογιστική επεξεργασία απλοποιείται και η μέθοδος των ολοκληρωτικών εξισώσεων παρουσιάζει περισσότερο ενδιαφέρον. Η σύγκριση των αριθμητικών αποτελεσμάτων πραγματοποιείται με βάση τις μακροσκοπικές ποσότητες της ροής, όπως ροή μάζας και συντελεστής οπισθέλκουσας. Με την ενδελεχή και συστηματική εξέταση των αριθμητικών αποτελεσμάτων προκύπτουν τα θετικά και αρνητικά στοιχεία της μεθόδου. Αποδεικνύεται ότι στην μέθοδο των ολοκληρωτικών εξισώσεων εξαλείφονται οι ταλαντωτικές συμπεριφορές των μακροσκοπικών ποσοτήτων που οφείλονται κυρίως σε ασυνέχειες των οριακών συνθηκών. Αυτό είναι ένα σημαντικό πλεονέκτημα της μεθόδου, σε σχέση με τη μέθοδο των διακριτών ταχυτήτων. Επίσης, αποδεικνύεται ότι η μέθοδος των ολοκληρωτικών εξισώσεων υπερτερεί της μεθόδου των διακριτών ταχυτήτων σε αποτελεσματικότητα όταν η ροή είναι κοντά στην ελεύθερη μοριακή περιοχή, δηλαδή όταν ο αριθμός Knudsen είναι μεγάλος. Αντίθετα, υστερεί υπολογιστικά όταν η ροή βρίσκεται κοντά στην συνεχή περιοχή, δηλαδή όταν ο αριθμός Knudsen είναι μικρός. Συνολικά, τονίζεται ότι με βάση την προτεινόμενη διατύπωση η μέθοδος των ολοκληρωτικών εξισώσεων αποτελεί μία εναλλακτική αξιόπιστη μέθοδο επίλυσης κινητικών εξισώσεων σε όλο το εύρος του αριθμού Knudsen. Το συμπέρασμα αυτό είναι ιδιαίτερα σημαντικό στην περίπτωση σύνθετων προβλημάτων ροών και φαινομένων μεταφοράς εκτός θερμοδυναμικής ισορροπίας, όπου η επίλυση τους θα πρέπει να επιτυγχάνεται με περισσότερες από μία μεθοδολογίες ώστε τα αριθμητικά αποτελέσματα να τεκμηριώνονται με τον καλύτερο δυνατόν τρόπο.