Επίλυση προτύπων μαγνητουδροδυναμικών ροών

Abstract

Το αντικείμενο της διπλωματικής εργασίας είναι η αναλυτική και υπολογιστική επίλυση των εξισώσεων που περιγράφουν πρότυπες μαγνητοϋδροδυναμικές ροές και συγκεκριμένα την ροή Hartmann και την πλήρως ανεπτυγμένη ροή σε ορθογώνιο αγωγό. Διατυπώνονται και επιλύονται τόσο αναλυτικά όσο και αριθμητικά, οι δυο αυτές ροές για τοιχώματα α) μονωμένα (c = 0), β) αγώγιμα (c = oo) και γ) ημιαγώγιμα (0 < c < <χ>). Η επίδραση του επαγόμενου μαγνητικού πεδίου στη ροή εξετάζεται μέσω του αριθμού Hartmann (Ηα). Όταν ο αριθμός Ηα είναι μεγάλος τότε η αναλυτική επίλυση γίνεται με ασυμπτωτικές προσεγγίσεις, ενώ η αριθμητική επίλυση με πυκνά πλέγματα. Τα αριθμητικά αποτελέσματα είναι σε συμφωνία με τα αναλυτικά. Ιδιαίτερη έμφαση δίδεται στον ακριβή υπολογισμό των κατανομών εντός των ΜΥΔ στοιβάδων που αναπτύσσονται στα τοιχώματα των αγωγών για όλους τους τύπους των οριακών συνθηκών. Αποτελέσματα παρουσιάζονται για τις κατανομές της ταχύτητας, του μαγνητικού πεδίου και της δύναμης Lorentz, όπως επίσης και για τα μεγέθη των παροχών και της πτώσης πίεσης σε σχέση με διάφορες παραμέτρους της ροής. Όπως είναι γνωστό η επιβολή εξωτερικού μαγνητικού πεδίου στη ροή έχει σαν αποτέλεσμα την ανάπτυξη της δύναμης Lorentz. Από τα αναλυτικά και υπολογιστικά αποτελέσματα προκύπτει ότι η δύναμη αυτή στο κέντρο του αγωγού είναι πάντα αντίθετη στη διεύθυνση της ροής, ενώ κοντά στα τοιχώματα είναι στη διεύθυνση της ροής όταν τα τοιχώματα είναι πλήρως μονωμένα και μηδενίζεται όταν τα τοιχώματα είναι πλήρως αγώγιμα. Όμως το ολοκλήρωμα της κατανομής της δύναμης Lorentz δίδει μία συνολική δύναμη Lorentz που είναι πάντα αντίθετη στη διεύθυνση της ροής και επομένως την επιβραδύνει. Επίσης, αποδεικνύεται ότι καθώς αυξάνει η ένταση του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου, δηλαδή ο αριθμός Ηα η μείωση της παροχής είναι ανάλογη του Ηα για πλήρως μονωμένα τοιχώματα και ανάλογη του Ηα2 για πλήρως αγώγιμα τοιχώματα. Με την αύξηση του αριθμού Hartmann, αυξάνει αντίστοιχα η δύναμη Lorentz στο κέντρο του αγωγού και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα αφενός την μείωση και αφετέρου την επιπεδοποίηση της κατανομής της ταχύτητας. Η μείωση της ταχύτητας στο κέντρο του αγωγού, με την αύξηση του αριθμού Ηα, είναι αντίστοιχη με αυτήν της παροχής. Παράλληλα κοντά στα τοιχώματα δημιουργούνται οι λεγάμενες στοιβάδες Hartmann και οι πλευρικές στοιβάδες, όπου οι μεταβολές της ταχύτητας είναι ιδιαίτερα απότομες. Σημειώνεται ότι σε μεγάλους αριθμούς Hartmann το πάχος των στοιβάδων Hartmann είναι αντιστρόφως ανάλογο του Ηα, ενώ το πάχος των πλευρικών στοιβάδων είναι αντιστρόφως ανάλογο του λΙ Η a. Η επίδραση του εξωτερικού μαγνητικού πεδίου στην πτώση πίεσης είναι αντιστρόφως ανάλογη από ότι στην παροχή. Δηλαδή, η αύξηση στην πτώση πίεσης είναι ανάλογη του Ηα για πλήρως μονωμένα τοιχώματα και ανάλογη του Ηα2 για πλήρως αγώγιμα τοιχώματα. Τέλος, όταν τα τοιχώματα Hartmann είναι ημιαγώγιμα τα αποτελέσματα κυμαίνονται ανάμεσα στα αντίστοιχα αποτελέσματα των δύο οριακών περιπτώσεων. Αξίζει να σημειωθεί ότι για πολύ μικρές τιμές της παραμέτρου c παρατηρούμε σημαντική απόκλιση των αποτελεσμάτων από τα αντίστοιχα για μονωμένα τοιχώματα, ενώ για c-1 τα αποτελέσματα είναι πολύ κοντά στα αντίστοιχα για πλήρως αγώγιμα τοιχώματα.