Βέλτιστος σχεδιασμός κατασκευών υπό την επιρροή αβεβαιοτήτων

Abstract

Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μια μεθοδολογία βέλτιστου σχεδιασμού κατασκευών υπό την επιρροή αβεβαιοτήτων και εφαρμόζεται στον σχεδίασμά παθητικών συστημάτων ελέγχου ταλαντώσεων κατασκευών. Σύμφωνα με τον προτεινόμενο βέλτιστο σχεδίασμά επιχειρείται ταυτόχρονα η βελτιστοποίηση της μέσης τιμής (mean) της απόδοσης και η ελαχιστοποίηση της διακύμανσης (variation) αυτής της απόδοσης ως προς τις αβέβαιες παραμέτρους του συστήματος. Επομένως το πρόβλημα του βέλτιστου σχεδιασμού υπό την επιρροή αβεβαιοτήτων διατυπώνεται ως ένα πολυκριτηριακό πρόβλημα βελτιστοποίησης. Στο σχεδίασμά λαμβάνονται υπόψη οι αβεβαιότητες στα δυναμικά φορτία. Οι αβεβαιότητες αυτές ποσοτικοποιούνται με στοχαστικές διαδικασίες. Επίσης στον σχεδίασμά λαμβάνονται υπόψη οι αβεβαιότητες στις παραμέτρους του μηχανικού συστήματος (κατασκευής). Εδώ οι αβεβαιότητες ποσοτικοποιούνται με συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας. Ως μέτρο της απόδοσης του συστήματος και βασικό κριτήριο για την επιλογή των παραμέτρων σχεδιασμού είναι η ελαχιστοποίηση του μέγιστου των συναρτήσεων μεταφοράς ή της πιθανότητας αστοχίας του συστήματος. Η μέση τιμή και η διακύμανση της απόδοσης ορίζονται ως πολυδιάστατα ολοκληρώματα στο χώρο των αβέβαιων παραμέτρων και προτείνονται αριθμητικές μέθοδοι για τον υπολογισμό των τιμών των ολοκληρωμάτων αυτών. Ο εξελικτικός Pareto αλγόριθμος (Strength Pareto Evolutionary Algorithm) χρησιμοποιείται για να επιλύσει το πολυκριτηριακό πρόβλημα βελτιστοποίησης και να αναγνωρίσει έναν αριθμό Pareto λύσεων που είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι κατά μήκος του μετώπου του Pareto (Pareto Front). Προσεγγιστικές θεωρίες χρησιμοποιούνται για να υπολογιστεί η αξιοπιστία, ή, ισοδύναμα η πιθανότητα αστοχίας, λόγω της στοχαστικής φύσης της διέγερσης. Μέθοδοι βασισμένες σε ασυμπτωτικές προσεγγίσεις και σε μεθόδους Monte Carlo προσφέρουν υπολογιστικά αποδοτικές εκτιμήσεις της μέσης τιμής της απόδοσης και της διακύμανσής της ως προς τις αβέβαιες παραμέτρους. Η μεθοδολογία εφαρμόζεται στο σχεδιασμό παθητικών συστημάτων ελέγχου ταλαντώσεων κατασκευών. Στην παρούσα εργασία μελετάται η δυνατότητα ελέγχου των ταλαντώσεων πρωτευόντων μηχανικών συστημάτων χρησιμοποιώντας δευτερεύοντα συστήματα ταλαντωτών μάζας - ελατηρίου - αποσβεστήρα (Tuned Mass Dampers (TMD)), τα οποία προσαρτώνται κατάλληλα στο μηχανικό σύστημα. Η μάζα του δευτερεύοντος συστήματος παθητικού ελέγχου είναι σχετικά μικρή σε σχέση με τη συνολική μάζα του πρωτεύοντος μηχανικού συστήματος. Το πρωτεύον μηχανικό σύστημα το οποίο μελετάται, αποτελείται από έναν απλό ταλαντωτή ενός βαθμού ελευθερίας ο οποίος διεγείρεται στη βάση του. Για τον έλεγχο των ταλαντώσεων χρησιμοποιούνται ένα ή δύο δευτερεύοντα συστήματα (TMD). Τα κύρια χαρακτηριστικά των συζευγμένων πρωτευόντων - δευτερευόντων συστημάτων δύο και τριών βαθμών ελευθερίας που προκύπτουν είναι οι ιδιοσυχνότητες και τα μέτρα απόσβεσης του πρωτεύοντος και των δευτερευόντων συστημάτων, καθώς επίσης και ο λόγος μαζών των συστημάτων. Αναπτύσσονται οι εξισώσεις κίνησης οι οποίες περιγράφουν την απόκριση του συζευγμένου συστήματος συναρτήσει των ιδιοσυχνοτήτων, των μέτρων απόσβεσης και του λόγου των μαζών των συστημάτων. Για την επιλογή των βέλτιστων παραμέτρων του δευτερεύοντος συστήματος για τις οποίες επιτυγχάνεται ο καλύτερος δυνατός έλεγχος των ταλαντώσεων του πρωτεύοντος, γίνεται αρχικά μία παραμετρική ανάλυση για τη μελέτη της επιρροής των τιμών των παραμέτρων του δευτερεύοντος συστήματος στην απόδοση του πρωτεύοντος συστήματος Συμπεραίνεται ότι για την περίπτωση που δεν υπάρχουν αβεβαιότητες στις παράμετρες της κατασκευής, ο πιο αποτελεσματικός έλεγχος του πρωτεύοντος συστήματος επιτυγχάνεται επιλέγοντας την ιδιοσυχνότητα του δευτερεύοντος συστήματος να είναι κοντά σε μια από τις ιδιοσυχνότητες του πρωτεύοντος συστήματος. Επίσης, αυξάνοντας το λόγο μαζών και το μέτρο απόσβεσης του δευτερεύοντος συστήματος έχει ως αποτέλεσμα τη μείωση των ταλαντώσεων του πρωτεύοντος συστήματος. Τέλος εφαρμόζεται η μεθοδολογία βέλτιστου σχεδιασμού στην περίπτωση που οι παράμετρες του συστήματος είναι αβέβαιες. Μελετώντας την επίδραση των αβεβαιοτήτων προκύπτει ότι οι αβεβαιότητες στις παράμετρες επηρεάζουν σημαντικά τις προβλέψεις της απόκρισης και της αξιοπιστίας. Επίσης επηρεάζουν σημαντικά και την επιλογή των βέλτιστων τιμών των παραμέτρων σχεδιασμού και επομένως θα πρέπει να ληφθούν υπόψη στο σχεδίασμά των συστημάτων ελέγχου TMD. Στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζεται μια σύντομη περιγραφή των παθητικών και ενεργών συστημάτων ελέγχου. Στο Κεφάλαιο 2 περιγράφεται το συζευγμένο πρωτεύων-δευτερεύων μηχανικό σύστημα παθητικού ελέγχου (TMD) δύο και τριών βαθμών ελευθερίας, αναπτύσσονται οι εξισώσεις κίνησης και περιγράφονται εν συντομία οι μέθοδοι ανάλυσης για τον προσδιορισμό των συναρτήσεων μεταφοράς του συστήματος. Στο Κεφάλαιο 3 παρουσιάζονται διαγράμματα από την ανάλυση του συστήματος 2 βαθμών ελευθερίας. Από αυτά τα διαγράμματα προκύπτουν χρήσιμα συμπεράσματα για τη συμπεριφορά του πρωτεύοντος μηχανικού συστήματος, ενώ αναλύεται ο ρόλος του δευτερεύοντος συστήματος και η επίδρασή του στην απόκριση και στην πιθανότητα αστοχίας του πρωτεύοντος συστήματος. Στο Κεφάλαιο 4 χρησιμοποιώντας αριθμητικές μεθόδους μελετάται ο βέλτιστος σχεδιασμός παθητικών συστημάτων ελέγχου (TMD) υπό την επιρροή αβεβαιοτήτων. Στο Κεφάλαιο 5 παρουσιάζονται διαγράμματα από την ανάλυση του συστήματος των δύο και των τριών βαθμών ελευθερίας. Από αυτά τα διαγράμματα θα προκόψουν χρήσιμα συμπεράσματα για την απόδοση του συστήματος και το βέλτιστο σχεδίασμά. Τα συμπεράσματα της παρούσας εργασίας παρουσιάζονται συνοπτικά στο Κεφάλαιο 6.