Αριθμητική επίλυση ολοκληρωτικών-διαφορικών εξισώσεων στην κινητική θεωρία με τη μέθοδο των μοριακών ταχυτήτων

Abstract

Η μέθοδος διακριτών ταχυτήτων (DVM) αποτελεί μία διαδεδομένη μέθοδο αριθμητικής επίλυσης της κινητικής εξίσωσης Boltzmann. Εν τούτοις, ιδιαίτερα σημαντικό πρόβλημα κατά την εφαρμογή της αποτελεί η αργή σύγκλιση, που η μέθοδος επιδεικνύει σε πολλές περιπτώσεις. Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία αναπτύσσονται συνθετικοί επαναληπτικοί αλγόριθμοι επιτάχυνσης της DVM σε μονοδιάστατη και δισδιάστατη γεωμετρία και μελετάται παράλληλα η ευστάθεια των αλγορίθμων αυτών. Αρχικά, περιγράφεται με συστηματικό τρόπο το βασικό σχήμα DVM στο πρόβλημα της ροής ενός μονοατομικού αερίου ανάμεσα σε πλάκες (ροή Poiseuille) και στη συνέχεια το σχήμα αυτό εφαρμόζεται για ροή μέσα σε κύλινδρο και σε ορθογώνιο αγωγό. Η μοντελοποίηση του όρου των συγκρούσεων γίνεται σε όλες τις περιπτώσεις με την εφαρμογή του γραμμικοποιημένου μοντέλου BGK. Στη συνέχεια, αναπτύσσεται μία δυναμική διαδικτυακή εφαρμογή για την παρουσίαση των υπολογιστικών αποτελεσμάτων του σχήματος DVM, που αφορούν στην επίλυση αέριων ροών μέσα σε αγωγούς διαφόρων διατομών. Επίσης, διατυπώνονται σχήματα επιτάχυνσης της μεθοδολογίας DVM, με την εφαρμογή Ερμητιανών ροπών διαφόρων τάξεων στις συνεχείς μορφές των γραμμικοποιημένων κινητικών εξισώσεων BGK, και αναλύεται η ευστάθεια των σχημάτων αυτών. Τέλος, εφαρμόζεται στα δύο προβλήματα ροών, αυτά της μονοδιάστατης και δισδιάστατης γεωμετρίας, το διακριτοποιημένο σχήμα επιτάχυνσης Η0 και συγκρίνονται τα αποτελέσματα με τα αντίστοιχα της μη επιταχυνόμενης DVM. Παρατηρείται μεγάλη βελτίωση τόσο στον αριθμό των επαναλήψεων, όσο και στο χρόνο εκτέλεσης του κώδικα, ιδιαίτερα για μικρές τιμές του αριθμού Knudsen. Μέρος της μεταπτυχιακής εργασίας έχει δημοσιευθεί στο περιοδικό «Transport Theory and Statistical Physics» [Lihnaropoulos et al., 2007].